✎☛ Lever une indétermination dans une expression avec des racines carrées

Remarque 

Soit deux réels \(a>0\)  et \(b>0\) .

\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) .
\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) .
\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) .

Ainsi, pour tout réel \(a>0\)  et \(b>0\) , on a \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) .

Vocabulaire

\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)   est appelée quantité conjuguée de \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) .
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)  est appelée quantité conjuguée de \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) .

Méthode

Lorsqu'on rencontre une forme indéterminée faisant intervenir des racines carrées, on peut penser à multiplier par la quantité conjuguée de l'expression .

Énoncé

Déterminer \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}\right)\) .

Solution

Soit  \(x\) un réel. Sous réserve d'existence, \(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}\)
\(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{x+3-(x+2)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}\)
\(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}\) .
\(\) Par composée  \(\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x+3}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x+2}=+\infty\)  
donc par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}\right)=+\infty\) .
Enfin, par quotient \(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}=0\) .